\section{附录一：通过矩阵讨论线性关系}

\begin{frame}{向量组与矩阵的乘积}
  我们能用类似于矩阵乘积的形式来写向量组$\alpha_1,\cdots,\alpha_s$的线性组合$\sum_{i=1}^s a_i \alpha_i$.  这能为书写和运算带来方便。

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  定义向量组$S=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s)$与列向量$X=(a_1, a_2, \cdots, a_s)^{\rT}\in P^{(s)}$的\emph{乘积} (product) 为
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\begin{equation*}
  SX=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s)\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_s\end{pmatrix}
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  \coloneq \sum_{i=1}^s \alpha_i a_i = \sum_{i=1}^s a_i \alpha_i.
\end{equation*}
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这个乘法规则显然跟通常的行向量与列向量的乘法规则一样。
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进一步，给定矩阵$A=\begin{pmatrix}
    \beta_1 & \beta_2 & \cdots&  \beta_t
\end{pmatrix}\in P^{s\times t}$, 
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定义一个新向量组
\begin{equation*}
  SA=(S\beta_1, S\beta_2, \cdots, S\beta_t).
\end{equation*}
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容易发现结合律也成立，即若还有$B\in P^{t\times p}$, 则
\[
  (SA)B=S(AB).
\]
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另外，我们也有分配律：
\[
  SA+SA'=S(A+A'),\quad (S+S')A=SA+S'A,
\]
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其中$S, S'$是包含相同多向量的向量组，$A, A'$是同阶矩阵；
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$S, S'$的加法是按分量相加，
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即形如
\[
  (\alpha_1, \cdots, \alpha_s)+(\beta_1, \cdots, \beta_s)\coloneq
  (\alpha_1+\beta_1, \cdots, \alpha_s+\beta_s).
\]
\end{frame}


\begin{frame}
有了上面的记号，我们可以重述线性关系的一些概念：
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\begin{enumerate}
\item 向量$\beta$可由向量组$S=(\alpha_1, \cdots, \alpha_s)$线性表出相当于
存在列向量$X\in P^{(s)}$使得$\beta=SX$. 
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\item 更一般地，向量组$T$可由向量组$S$线性表出相当于存在矩阵$A$使得$T=SA$. 
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  线性表出的传递性可如下得到：若$S_1$可由$S_2$线性表出，$S_2$可由$S_3$线性表出，
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  则存在矩阵$A_1, A_2$使得$S_1=S_2A_1, S_2=S_3A_2$, 
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  从而
  \[
    S_1=S_2A_1=(S_3 A_2) A_1 =S_3(A_2A_1).
  \]
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  这样$S_1$可由$S_3$线性表出。
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\item 向量组$S=(\alpha_1, \cdots, \alpha_s)$线性无关相当于$SX=0$（其中$X\in P^{(s)}$）蕴含了$X=0$. 
\end{enumerate}
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  \begin{exercise}
    \label{171}
  给定两个有$r$个向量的向量组
  \[
    S=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r),\quad 
    S'=(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r),
  \]
  设$S$线性无关，
  再假设$S'$可由$S$线性表示，亦即对某个矩阵$A$有$S'=SA$.
  那么下列等价：\\
  (1) $S'=(\beta_1, \cdots, \beta_r)$线性无关。\\
  (2) $A$可逆。\\
  (3) $S=(\alpha_1, \cdots, \alpha_r)$可由$S'=(\beta_1, \cdots, \beta_r)$线性表出。
\end{exercise}


\end{frame}


